Sistema de Numeração com Vírgula e Operações em Bases Diferentes

Na primeira parte, aprendemos a converter números inteiros entre bases.

Agora vamos avançar um pouco mais.

Nesta aula, vamos aprender:

• converter binário com vírgula para decimal
• converter decimal com vírgula para binário
• fazer multiplicação e divisão em binário
• fazer soma e subtração em hexadecimal
• fazer soma e subtração em octal
• treinar com perguntas reutilizáveis no Club360 Game

Quando aparece vírgula em sistema de numeração, a lógica continua a mesma: cada posição tem um peso.

Antes de começar: o que muda quando aparece vírgula?

Em números inteiros, os pesos crescem para a esquerda.

No binário, por exemplo:

2³, 2², 2¹, 2⁰

Mas depois da vírgula, os pesos ficam negativos:

2⁻¹, 2⁻², 2⁻³, 2⁻⁴...

Isso significa que depois da vírgula os valores ficam menores.

Antes da vírgula, os pesos crescem. Depois da vírgula, os pesos diminuem.

Ilustração 1: Pesos antes e depois da vírgula

Pesos com vírgula

Depois da vírgula, usamos potências negativas da base.

Esse conceito ajuda o aluno a entender números fracionários em binário.

1. Q2: Converter 10,101₂ para decimal com 4 casas

Temos o número:

10,101₂

A base é 2.

Vamos separar em duas partes:

10,101₂ = 10₂ + 0,101₂

Parte inteira:

10₂

Parte fracionária:

0,101₂

1.1 Parte inteira

A parte inteira é:

10₂

Colocando os pesos:

1    0
2¹   2⁰

Agora calculamos:

1×2¹ + 0×2⁰

1×2 + 0×1 = 2

Então:

10₂ = 2₁₀

1.2 Parte depois da vírgula

Agora pegamos:

0,101₂

Colocando os pesos depois da vírgula:

1      0      1
2⁻¹    2⁻²    2⁻³

Sabendo que:

2⁻¹ = 0,5
2⁻² = 0,25
2⁻³ = 0,125

Agora multiplicamos:

1×0,5 + 0×0,25 + 1×0,125

0,5 + 0 + 0,125 = 0,625

1.3 Juntando tudo

Parte inteira:

2

Parte fracionária:

0,625

Resultado:

2 + 0,625 = 2,625

Com 4 casas de precisão:

10,101₂ = 2,6250₁₀

BoardSteps: Q2 passo a passo

Q2: Convertendo 10,101₂ para decimal

Separamos a parte inteira da parte fracionária e somamos os pesos.

Separação

Step 1: Separe a parte inteira da parte depois da vírgula.

A parte inteira e a parte fracionária usam pesos diferentes.

Parte inteira

Step 2: Resolva a parte inteira.

10₂ vale 2₁₀.

Parte fracionária

Step 3: Resolva a parte fracionária com potências negativas.

Depois da vírgula usamos 2⁻¹, 2⁻², 2⁻³...

Resposta

Step 4: Some tudo e escreva com 4 casas.

10,101₂ = 2,6250₁₀.

2. Q3: Converter 7,32₁₀ para binário com 4 casas

Agora temos o número decimal:

7,32₁₀

Queremos transformar em binário com 4 casas depois da vírgula.

Vamos separar:

7,32 = 7 + 0,32

Parte inteira:

7

Parte decimal:

0,32

2.1 Parte inteira: 7₁₀ para binário

Fazemos divisão por 2:

7 ÷ 2 = 3 resto 1
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

Lendo os restos de baixo para cima:

111₂

Então:

7₁₀ = 111₂

2.2 Parte decimal: 0,32 para binário

Para converter a parte decimal, usamos outro método:

multiplicar por 2
pegar a parte inteira
repetir até ter a quantidade de casas pedida

Como a questão pede 4 casas, fazemos 4 multiplicações:

0,32 × 2 = 0,64  -> pega 0
0,64 × 2 = 1,28  -> pega 1
0,28 × 2 = 0,56  -> pega 0
0,56 × 2 = 1,12  -> pega 1

Os bits depois da vírgula são:

0101

Então:

0,32₁₀ ≈ 0,0101₂

2.3 Juntando tudo

Parte inteira:

7₁₀ = 111₂

Parte decimal:

0,32₁₀ ≈ 0,0101₂

Resultado:

7,32₁₀ ≈ 111,0101₂

Resposta:

7,32₁₀ ≈ 111,0101₂

com 4 casas de precisão.

Quando a parte decimal não termina exatamente, usamos a quantidade de casas pedida pela questão.

BoardSteps: Q3 passo a passo

Q3: Convertendo 7,32₁₀ para binário

A parte inteira usa divisão por 2. A parte decimal usa multiplicação por 2.

Separação

Step 1: Separe o número em parte inteira e parte decimal.

7,32 vira 7 + 0,32.

Parte inteira

Step 2: Converta a parte inteira com divisão por 2.

7₁₀ = 111₂.

Parte decimal

Step 3: Converta a parte decimal multiplicando por 2.

Cada parte inteira encontrada vira uma casa depois da vírgula.

Resposta

Step 4: Junte a parte inteira com a parte fracionária.

7,32₁₀ ≈ 111,0101₂.

3. Como escolher o método certo?

Use este mapa:

flowchart TD
A[Tenho um número com vírgula] --> B{Está em binário e quero decimal?}
B -->|Sim| C[Use pesos positivos antes da vírgula]
C --> D[Use pesos negativos depois da vírgula]
D --> E[Some tudo]

B -->|Não| F{Está em decimal e quero binário?}
F -->|Sim| G[Parte inteira: divisão por 2]
G --> H[Parte decimal: multiplicação por 2]
H --> I[Junte as duas partes]

F -->|Não| J[Identifique a base e aplique a regra correspondente]

O segredo é separar a parte inteira da parte depois da vírgula.

4. Q4: Operações usando a base dos números

Agora vamos fazer contas respeitando a base em que os números estão.

A questão pede:

Realize os cálculos e dê o resultado usando a base numérica em que os números estão representados.

Ou seja:

• se os números estão em binário, a resposta fica em binário
• se estão em hexadecimal, a resposta fica em hexadecimal
• se estão em octal, a resposta fica em octal

5. Q4 a) 100101₂ × 100₂

Conta:

100101₂ × 100₂

Aqui existe um macete importante.

No binário:

100₂ = 4₁₀

Multiplicar por 100₂ é o mesmo que deslocar o número duas casas para a esquerda.

Então:

100101₂ × 100₂ = 10010100₂

Resposta:

10010100₂

Em binário, multiplicar por 10₂ desloca uma casa. Multiplicar por 100₂ desloca duas casas.

Ilustração 2: Multiplicação binária por deslocamento

Multiplicação binária

Multiplicar por 100₂ desloca o número duas casas para a esquerda.

Esse macete deixa a multiplicação mais rápida.

6. Q4 b) 100101₂ ÷ 1011₂

Conta:

100101₂ ÷ 1011₂

Vamos converter para decimal apenas para entender o valor:

100101₂ = 37₁₀
1011₂ = 11₁₀

Então:

37 ÷ 11 = 3,3636...

A parte inteira é:

3₁₀ = 11₂

Agora precisamos de 2 casas depois da vírgula.

A parte decimal é aproximadamente:

0,3636...

Convertendo para binário:

0,3636 × 2 = 0,7272  -> pega 0
0,7272 × 2 = 1,4544  -> pega 1

Com duas casas:

,01

Resposta com 2 casas:

100101₂ ÷ 1011₂ ≈ 11,01₂

Aqui usamos aproximação porque a divisão não termina exatamente.

Ilustração 3: Divisão binária com duas casas

Divisão binária

Na divisão, podemos usar aproximação com a quantidade de casas pedida.

Aqui usamos duas casas depois da vírgula porque a questão pediu.

7. Q4 c) DE2₁₆ + 32₁₆

Conta:

DE2₁₆ + 32₁₆

Vamos alinhar os números:

  DE2
+ 032
-----

Agora somamos da direita para a esquerda.

Primeira coluna:

2 + 2 = 4

Segunda coluna:

E + 3

No hexadecimal:

E = 14

Então:

14 + 3 = 17

Em hexadecimal, 17 decimal é:

11₁₆

Então colocamos 1 e vai 1 para a próxima coluna.

Última coluna:

D + 1 = E

Resultado:

  DE2
+ 032
-----
  E14

Resposta:

DE2₁₆ + 32₁₆ = E14₁₆

8. Q4 d) 10₁₆ - A₁₆

Conta:

10₁₆ - A₁₆

Lembre:

10₁₆ = 16₁₀
A₁₆ = 10₁₀

Então:

16 - 10 = 6

Resposta:

10₁₆ - A₁₆ = 6₁₆

Ilustração 4: Soma e subtração hexadecimal

Operações em hexadecimal

No hexadecimal, as letras representam valores de 10 até 15.

A tabela A até F ajuda a evitar erro nas operações.

9. Q4 e) 705₈ + 123₈

Conta:

705₈ + 123₈

Vamos alinhar:

  705
+ 123
-----

Somando da direita para a esquerda:

Primeira coluna:

5 + 3 = 8

Mas em base 8, o número 8 não aparece como algarismo.

Em octal:

8₁₀ = 10₈

Então colocamos 0 e sobe 1.

Segunda coluna:

0 + 2 + 1 = 3

Terceira coluna:

7 + 1 = 8

De novo:

8₁₀ = 10₈

Então colocamos 0 e sobe 1.

Resultado:

  705
+ 123
-----
 1030

Resposta:

705₈ + 123₈ = 1030₈

10. Q4 f) 65₈ - 47₈

Conta:

65₈ - 47₈

Montando:

  65
- 47
----

Na primeira coluna:

5 - 7

Não dá, então precisamos pegar emprestado.

Como estamos em base 8, pegar emprestado significa adicionar 8 à casa atual.

O 5 vira:

5 + 8 = 13₁₀

Em octal, podemos pensar como:

15₈

Agora:

15₈ - 7₈ = 6₈

A casa da esquerda, que era 6, emprestou 1 e virou 5.

Agora:

5 - 4 = 1

Resultado:

  65
- 47
----
  16

Resposta:

65₈ - 47₈ = 16₈

Ilustração 5: Soma e subtração em octal

Operações em octal

No octal, quando passa de 7, viramos a casa.

O transporte e o empréstimo seguem a base 8, não a base 10.

11. Resumo das respostas

Q2) 10,101₂ = 2,6250₁₀
 
Q3) 7,32₁₀ ≈ 111,0101₂
 
Q4)
a) 100101₂ × 100₂ = 10010100₂
b) 100101₂ ÷ 1011₂ ≈ 11,01₂
c) DE2₁₆ + 32₁₆ = E14₁₆
d) 10₁₆ - A₁₆ = 6₁₆
e) 705₈ + 123₈ = 1030₈
f) 65₈ - 47₈ = 16₈

12. Macetes finais

Para binário com vírgula virar decimal

Use potências negativas depois da vírgula:

2⁻¹ = 0,5
2⁻² = 0,25
2⁻³ = 0,125
2⁻⁴ = 0,0625

Para decimal com vírgula virar binário

Separe o número:

parte inteira + parte decimal

Parte inteira:

divide por 2

Parte decimal:

multiplica por 2
pega a parte inteira
repete até ter a quantidade de casas pedida

Para operações em outras bases

Sempre lembre:

Binário: só vai até 1
Octal: só vai até 7
Hexadecimal: vai até F

No hexadecimal:

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

Treino rápido no Club360 Game

As perguntas abaixo também alimentam a página Game do Club360.

O aluno pode entrar no treino, responder com tempo, ver o resultado e tentar de novo sem precisar copiar nada para outro lugar.

13. Exercícios para praticar

Agora tente resolver sozinho.

Parte A: Binário com vírgula para decimal

1) 1,1₂
2) 10,01₂
3) 11,101₂
4) 101,011₂

Parte B: Decimal com vírgula para binário com 4 casas

1) 2,5₁₀
2) 3,25₁₀
3) 4,75₁₀
4) 6,3₁₀

Parte C: Operações em binário

1) 101₂ × 10₂
2) 1101₂ × 100₂
3) 1010₂ ÷ 10₂
4) 1111₂ ÷ 11₂

Parte D: Operações em hexadecimal

1) A₁₆ + 5₁₆
2) 1F₁₆ + 1₁₆
3) 20₁₆ - A₁₆
4) FF₁₆ + 1₁₆

Parte E: Operações em octal

1) 7₈ + 1₈
2) 15₈ + 3₈
3) 20₈ - 7₈
4) 77₈ + 1₈

14. Gabarito

1) 1,1₂ = 1,5₁₀
2) 10,01₂ = 2,25₁₀
3) 11,101₂ = 3,625₁₀
4) 101,011₂ = 5,375₁₀

1) 2,5₁₀ = 10,1000₂
2) 3,25₁₀ = 11,0100₂
3) 4,75₁₀ = 100,1100₂
4) 6,3₁₀ ≈ 110,0100₂

1) 101₂ × 10₂ = 1010₂
2) 1101₂ × 100₂ = 110100₂
3) 1010₂ ÷ 10₂ = 101₂
4) 1111₂ ÷ 11₂ = 101₂

1) A₁₆ + 5₁₆ = F₁₆
2) 1F₁₆ + 1₁₆ = 20₁₆
3) 20₁₆ - A₁₆ = 16₁₆
4) FF₁₆ + 1₁₆ = 100₁₆

1) 7₈ + 1₈ = 10₈
2) 15₈ + 3₈ = 20₈
3) 20₈ - 7₈ = 11₈
4) 77₈ + 1₈ = 100₈

Conclusão

Números com vírgula e operações em outras bases parecem difíceis no começo, mas seguem padrões simples.

Para lembrar:

Binário com vírgula para decimal:
use pesos negativos depois da vírgula.

Decimal com vírgula para binário:
parte inteira divide, parte decimal multiplica.

Operações em bases diferentes:
respeite o limite da base.

Se você praticar com papel, lápis, setas e teste de mesa, vai perceber que a dificuldade diminui muito.

O segredo não é decorar a resposta. O segredo é repetir o processo até ele ficar natural.